積分計算裏ワザ 24

$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$, 多くの人が特に問題なくできる微分だと思います。例を挙げるともっとよくわかると思いますので下に例を挙げておきます。, $$\left\{x^{2}(5x+3)\right\}’=2x(x+3)+5x^{2}$$, $$\scriptsize{(f(x)=x^{2}\quad,\quad g(x)=5x+3)}$$, 部分積分法を使用して問題を解く場合、この作業を最初から行うと暗記をしなくて済み汎用性が高くなります。, $-(x+1)cosx$を微分すれば、$(x+1)sinx$が出てくると考えます。, $$\left\{-(x+1)cosx\right\}’=-cosx+\textcolor{#ff0000}{(x+1)sinx}$$, $$-(x+1)cosx=\displaystyle\int_{}^{}-cosx+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}$$, 積分マークを付けたら順番を整えて、$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=$　の形にします。, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}=-(x+1)cosx-\displaystyle\int_{}^{}-cosx$$, $$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=-(x+1)cosx+sinx+C$$, $$\begin{eqnarray}&①&(xe^x)’=e^x+\textcolor{#ff0000}{xe^x}\\\\&②&\frac{1}{2}x^{2}e^x=\textcolor{#ff0000}{xe^x}+\frac{1}{2}x^{2}e^x\end{eqnarray}$$, どちらで答えを出すことができるかの判断は特にありません。計算してみてうまくいかなければハズレと判断するだけです。, $$xe^x=\displaystyle\int_{}^{}e^x+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}$$, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}=xe^x-\displaystyle\int_{}^{}e^x$$, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x}=\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x$$, $$\begin{eqnarray}\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x\\\\&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\left[e^x\right]_{0}^{1}\\\\&=&e-(e-1)\\\\&=&1\end{eqnarray}$$, 数学を勉強するのに暗記が増えるのはよくありません。できるだけすでに暗記している知識から結び付けて考えることを強くお勧めします。（持論です。）, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 部分積分の公式 $$\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)+\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x)dx$$, さっきの微分の式　$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$　を積分します。, $\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx+sinx+C$. 計算ミスを減らす具体的な方法を解説します。見直しの仕方，時間をかけるべき問題など。～定期試験から数学オリンピックまで800記事～ ... 微分，積分計算，特に置換積分，部分積分が絡むもの ; 方程式を立てる（ここでミスると後の作業が全てムダに）時間をかけないべきものの例. 2020.05.24 (1)積の微分（微分を勉強したことある人なら大体はできています。） (2)$(logx)’=\frac{1}{x}$ ... 目次【裏ワザ】部分積分の公式を暗記しない . 2次関数と接線の囲む面積 ↑で裏ワザ公式を紹介しておりますが、まずはまっとうにこの問題を解く力をつけましょう。例題1 $y=x^2-1$ とその上の点 $(-3,8),(1,0)$ における $2$ 本の接線で囲まれた面積を求めなさい。解説大雑把にグラフをかくと下図のようになるでしょう。公式とやり方、積分・数列の計算問題 . 式の変形や置換積分法で計算できない積で表された関数を積分するときは，部分積分法で積分しましょう。1回の部分積分で積分できるものもあれば，複数回の部分積分でようやく積分できるものもあります。, 「瞬間部分積分」と呼ばれている積分法を用いることで，速く楽に積分することもできます。ここでは，最初に通常の部分積分法で不定積分を求め，その後に，瞬間部分積分による解法について説明します。, 一般的に，何回か微分すると0になる方があればそちらが微分側である。ただし，$\log x$ は必ず微分側として扱う。, また，部分積分法を何回か繰り返し使うことによって，初めて基本関数に帰着される場合もあるので，1回であきらめてしまうのは禁物である。, では続いて(2)の答え合わせをしよう。この問題は誤答が多い。もしも答えが次のようになっていたら，どこかで符号を間違えているはず。, 見直すより，もう一度やった方が速く合うと思うよ？答えが合ってから，間違えていた解答を見直すと，どこで間違えたかが分かるよね。その上で，自分がどこで間違えやすいかを覚えておこう。, (3)は $1\Cdot\bigl(\log x\bigr)^3$ とみて，$\bigl(\log x\bigr)^3$ を微分側にしよう。, 最後の方は $\dint{}{}\log x\;dx=x\log x-x+C$ を覚えてサクッとやった方がいいね。, 大学入試で出題される数学の問題を解くときの着眼点・考え方・解法の糸口の掴み方を伝えます。, 平均値の定理を利用した不等式の証明は，多くの人が難しいと感じていますが，ある部分に着目するだけで簡単に証明できます。どこに着目して考えれば良いのかを知って，苦手な問題から得意な問題に変えましょう。, 定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドといいます。サイクロイド曲線の媒介変数表示，曲線の描画，面積，曲線の長さ，回転体の体積について1つ1つ丁寧に説明します。, 2003年センター数学ⅡBの複素数平面の問題を解くときに，どのように考えて解いていくのかを説明します。複素数の絶対値・偏角を計算できるようにしましょう。また，複素数平面上で4点が同一円周上にあることを偏角を用いた数式で表せるようにしておきましょう。, 1997年センター数学ⅡBの複素数平面の問題を解くときに，どのように考えて解いていくのかを説明します。私大入試対策として，センター試験で出題された複素数平面の問題を解くことは非常に有効です。複素数の絶対値・回転・円周上にあるための条件など様々なことを復習することができます。, 置換しないで積分できるパターンを増やすことで，積分にかかる時間を短縮することができます。その結果，同じ勉強時間でもより多くの問題を解くことができるようになるため，勉強効率がアップします。特に微分接触型の積分は置換しなくても積分できる人が多いため，このスキルは必須とも言えるでしょう。, バーゼル問題に関連して，奇数の逆数の2乗和が π^2/8 に収束することを説明します。2018年の気象大学校で出題されている問題を通して，考え方や解法を学びましょう。また，バーゼル問題を説明した動画の紹介もしています。. この積分は、数学Ⅲであれば部分積分を実行すれば良いが、ここでは数学Ⅱの範囲で工夫する。うまい変形をしよう。をはさみ込む。この計算のコツは以下の3点である。の変形; の積分（1.2参考） 2次の係数（ここでは）に注意 $\displaystyle \frac{1}{6} = \frac{1}{2} − \frac{1}{3}$, $\displaystyle \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} − \frac{1}{x + 1}$. © 2020 受験辞典 All rights reserved. 「瞬間部分積分」と呼ばれている積分法を用いることで，速く楽に積分することもできます。瞬間部分積分を使いこなせるようになると，瞬間部分積分が使えるタイプの積分計算において，圧倒的有利になることができます。この記事では「部分分数分解」について、公式ややり方をできるだけわかりやすく解説していきます。, 積分や数列などで部分分数分解を使った応用問題も解説しているので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！, 部分分数分解とは、1 つの分数をいくつかの分数の足し算や引き算に式変形することです。, このように部分分数分解を行うことで、分母と分子がシンプルな分数として表すことができます。, 部分分数分解は単なる式変形ではなく、積分や数列の分野で答えを求める際のテクニックとしても使われます。, 基本的にどんな分数でも部分分数分解できますが、よく出てくるのは次の 5 つのパターンです。, ① $\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(x + a)(x + b)} = \frac{A}{x + a} + \frac{B}{x + b}}$, ② $\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(ax + b)(cx + d)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d}}$, ③ $\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(ax + b)^2} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2}}$, ④ $\color{red}{\displaystyle \frac{px^2 + qx + r}{(ax + b)^2 (cx + d) }}$ $\color{red}{\displaystyle = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2} + \frac{C}{cx + d}}$, ⑤ $\color{red}{\displaystyle \frac{px^2 + qx + r}{(ax + b)(cx^2 + dx + e) }}$ $\color{red}{\displaystyle = \frac{A}{ax + b} + \frac{Bx + C}{cx^2 + dx + e}}$, （ただし、分子が $0$ でない、つまり分子の $p$ , $q$ , $r$ のいずれか 1 つが $0$ でない）, 分母が因数分解されたかたちであれば、それぞれの因数を分母にもつ分数に分解できる、ということですね。, 公式③や④のように、分母に同じ因数を 2 つもつ場合は、その因数の $1$ 乗と $2$ 乗を分母にもつ分数に分解することを覚えておきましょう。, $\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)}$ を部分分数分解せよ。, $\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ …(＊), $\left\{\begin{array}{l} A + B = 0 \text{…①}\\ 3A = 3 \text{…②}\end{array}\right.$, あとは (＊) に $A$, $B$ の値を代入すれば、部分分数分解の完成です！, $\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)} = \color{red}{\frac{1}{x} − \frac{1}{x + 3}}$, $\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2}$ を部分分数分解せよ。, $\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2} $ $\displaystyle = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x − 1} + \frac{C}{(2x − 1)^2}$ …(＊), $8x^2 − 5x + 2 $ $= A(2x − 1)^2 + Bx(2x − 1) + Cx$, 右辺の $x$ を含む項が $0$ になるような $x$ の値を代入していきます。, $\color{salmon}{\displaystyle x = \frac{1}{2}, 0, 1}$ をそれぞれ代入すると、, $\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{3}{2} = \frac{C}{2} \text{…①}\\ 2 = A \text{…②}\\ 5 = A + B + C \text{…③}\end{array}\right.$, $\begin{align} B &= 5 − A − C \\ &= 5 − 2 − 3 \\ &= 0 \end{align}$, 最後に $A$, $B$, $C$ の値を (＊) に戻せば、部分分数分解の完成です。, $\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2} = \color{red}{\frac{2}{x} + \frac{3}{(2x − 1)^2}}$, 係数比較法と数値代入法、どちらの解き方でも問題なく求めることができますが、オススメの使い分けは次のとおりです。, 分母の次数が増えるほど、係数比較のために右辺を降べきの順に並べる手間が増えていきます。, 次数が多い場合は、両辺の分母を払ったあとすぐに数値代入法を使ってみると比較的楽に計算できますよ！, $\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)}$ を部分分数分解せよ。, $\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)} = \frac{A}{x − 3} + \frac{B}{x − 7}$, $\left\{\begin{array}{l} A + B = 0 \text{…①}\\ −7A − 3B = 1 \text{…②}\end{array}\right.$, よって $\displaystyle B = −A = \frac{1}{4}$, $\begin{align} &\frac{1}{(x − 3)(x − 7)} \\ &= −\frac{1}{4} \frac{1}{x − 3} + \frac{1}{4} \frac{1}{x − 7} \\ &= −\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x − 3} − \frac{1}{x − 7} \right) \end{align}$, 答え：　$\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)} = −\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x − 3} − \frac{1}{x − 7} \right)$, $\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)}$ を部分分数分解せよ。, $\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)} $ $= \displaystyle \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}+ \frac{C}{(x − 3)}$, $4 = $ $A(x + 1)(x − 3) + B(x − 3) + C(x + 1)^2$, $\left\{\begin{array}{l} 4 = −3A − 3B + C \text{…①}\\ 4 = −4B \text{…②}\\ 4 = 16C \text{…③}\end{array}\right.$, $\begin{align}−3A &= 4 + 3B − C \\&= 4 − 3 − \displaystyle \frac{1}{4} \\&= \displaystyle \frac{3}{4}\end{align}$, $\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)}$, $= \displaystyle \frac{−\frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{−1}{(x + 1)^2} + \frac{\frac{1}{4}}{(x − 3)}$, $= \displaystyle −\frac{1}{4} \left\{ \frac{1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2} − \frac{1}{(x − 3)}\right\}$, 答え：　$\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)} $ $= − \displaystyle \frac{1}{4} \left\{ \frac{1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2} − \frac{1}{(x − 3)}\right\}$, $\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2}$ を部分分数分解せよ。, $\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{A}{x − 2} + \frac{B}{(x – 2)^2}$, $\left\{\begin{array}{l} A = 4 \text{…①}\\ −2A + B = −1 \text{…②}\end{array}\right.$, $\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{4}{x − 2} + \frac{7}{(x − 2)^2}$, 答え：　$\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{4}{x − 2} + \frac{7}{(x − 2)^2}$, $\displaystyle \int \frac{3}{x^2(x + 1)} \, dx$ を求めよ。, $\displaystyle \frac{3}{x^2(x + 1)}$ のかたちのままでは積分できません。, $\displaystyle \frac{3}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$, $\left\{\begin{array}{l} 3 = B \text{…①}\\ 3 = C \text{…②}\\ 3 = 2A + 2B + C \text{…③}\end{array}\right.$, $\displaystyle A = \frac{3}{2} − B − \frac{1}{2} C$, $\displaystyle A = \frac{3}{2} − 3 − \frac{3}{2} = −3$, $\begin{align} &\frac{3}{x^2(x + 1)} \\ &= −\frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x + 1} \\ &= 3 \left( −\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) \end{align}$, $\begin{align} &\int \frac{3}{x^2(x + 1)} dx \\ &= \int 3 \left(−\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \\ &= 3 \int \left( −\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \\ &= 3 \left(−\log |x| − \frac{1}{x} + \log|x + 1| \right) + C \\ &= 3 \left( \log|x + 1| − \log|x| − \frac{1}{x} \right) + C \\ &= 3 \left( \log\frac{|x + 1|}{|x|} − \frac{1}{x} \right) + C \end{align}$, 答え：　$\displaystyle 3 \left( \log\frac{|x + 1|}{|x|} − \frac{1}{x} \right) + C$ ($C$ は積分定数), 数列$\displaystyle a_1 = \frac{3}{1}$, $\displaystyle a_2 = \frac{3}{1 + 2} $, $\displaystyle a_3 = \frac{3}{1 + 2 + 3}$, $\cdots$の一般項 $a_n$、および数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。, $\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2} n(n + 1)$ になることから、問題の数列の一般項 $a_n$ は求められます。, $a_n$ を求めたあと、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を部分分数分解を利用して求めましょう。, $\displaystyle a_1 = \frac{3}{1}$, $\displaystyle a_2 = \frac{3}{1 + 2}$, $\displaystyle a_3 = \frac{3}{1 + 2 + 3}$, $\cdots$, $\begin{align} a_n &= \frac{3}{1 + 2 + 3 + \cdots + n} \\ &= 3 \times \frac{2}{n(n + 1)} \\ &= \frac{6}{n(n + 1)} \end{align}$, また、数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、, $\begin{align} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots a_n \\ &= \sum_{k = 1}^n a_k \\ &= \sum_{k = 1}^n \frac{6}{k(k + 1)} \end{align}$, $\displaystyle \frac{6}{n(n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1}$ …(＊), $\begin{align}\displaystyle \frac{6}{n(n + 1)} &= \frac{6}{n} − \frac{6}{n + 1} \\&= 6 \left( \frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} \right)\end{align}$, $\displaystyle = \sum_{k = 1}^n \frac{6}{k(k + 1)} $, $\displaystyle = \sum_{k = 1}^n 6 \left(\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} \right) $, $\displaystyle = 6 \sum_{k = 1}^n \left(\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} \right) $, $\displaystyle = 6 \left\{ \left(\frac{1}{1} − \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} − \frac{1}{3} \right) \\ + \left(\frac{1}{3} − \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} \right) \right\}$, $\displaystyle = 6 \left(1 − \frac{1}{n + 1} \right) $, $\displaystyle = 6 \cdot \frac{n + 1 − 1}{n + 1} $, 答え：　$\displaystyle a_n = \frac{6}{n(n + 1)} , \displaystyle S_n = \frac{6n}{n + 1}$, (1) 数列 $\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。, (2) 数列 $\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。, また、(2) のように分母が複雑な数列では、部分分数分解によって「 $\displaystyle \frac{◯}{△} − \frac{×}{▽}$ 」のかたちを作ると、和の計算で前後に同じ項が現れて打ち消し合うことができます。, 問題の分母「$n(n + 1)(n + 2)(n + 3)$」のように、隣り合う因数の $n$ の値が $1$ ずつ増えていくような場合は、最後の項を除く前半と最初の項を除く後半に部分分数分解すると、数列の和の計算がうまくいきます。（この場合 $n(n + 1)(n + 2)$ と $(n + 1)(n + 2)(n + 3)$ ）, (1) 数列 $\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると, $\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$, ここで、$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}$ の分母を有理化すると、, $\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \times \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}} \\ &= \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{k − (k + 1)} \\ &= \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{−1} \\ &= \sqrt{k + 1} − \sqrt{k} \end{align}$, $\begin{align} S_n &= \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \\ &= \sum_{k = 1}^n (\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}) \\ &= \sqrt{n + 1} − \sqrt{1} \\ &= \sqrt{n + 1} − 1 \end{align}$, (2) 数列 $\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると, $\begin{align} S_n &= \sum_{k = 1}^n a_k \\ &= \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)} \end{align}$, $\displaystyle \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = $ $\displaystyle \frac{A}{n(n + 1)(n + 2)} + \frac{B}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $\left\{\begin{array}{l} A + B = 0\\ 3A = 1\end{array}\right.$, $\displaystyle \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} $, $= \displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{n(n + 1)(n + 2)} + \frac{− \frac{1}{3}}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $= $ $\displaystyle \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}$, $\displaystyle = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}$, $\displaystyle = \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^n \left\{ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}$, $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}$, $\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{6} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}$, $\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3) − 6}{6(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $\displaystyle = \frac{(n + 1)(n^2 + 5n + 6) − 6}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $\displaystyle = \frac{n^3 + 5n^2 + 6n + n^2 + 5n + 6 − 6}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $\displaystyle = \frac{n^3 + 6n^2 + 11n}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, $\displaystyle = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, 答え：　$\displaystyle \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}$, 最初は式変形が難しいと感じるかもしれませんが、基本的にやることはいつも同じなので、たくさん問題を解いて慣れてくださいね！.