先日、息子が彼女にプロポーズして、相手両親に挨拶に行きました。彼女は一人娘で、彼女の父親から、氏名だけでも彼女の姓を名乗ってもらえないかと言われたと息子より相談の連絡がありました。まだしっかりと話はしていないので、息子の考えや彼女の考えもわかりませんが、いずれこのような相談があるだろうと私自身前... 旦那が東大卒なのを隠してました。
\end{eqnarray}$$, 3つの文字\(x,y,z\) の中から係数が揃っている、または揃えやすい文字に着目します。, 今回であれば、\(z\)の係数が揃っていますね。ということで、\(z\)の文字を消す！, 手順②で求めた\(x=-1, y=4\) を元の連立方程式の3つのいずれかの式に代入します。, $$\begin{eqnarray}x-y+z&=&1\\[5pt](-1)-4+z&=&1\\[5pt]z&=&1+5\\[5pt]z&=&6 \end{eqnarray}$$, 式が3つ並んでいる方程式のときには、それぞれ2つの式を組み合わせて連立方程式を作る。, これらの方程式は計算が複雑になってくるので、たくさん練習をして計算方法を身につけていきましょう。. 実力は伸びません。難しい問題を試行錯誤をしながら考えて解いて数学の力をのばしましょう。, １,２年生で(発展)と書いてある問題は少し難易度が高くなっています。また、３年生では(基礎)と書いてある問題以外は難易度を高くした問題が含まれます。発展といっても指導要領を超えたものではなく、公立高校の入試レベルの問題です。難しい問題でもすぐに答を見ようとせず今までにやってきたことを思い出しながら解き方を考えましょう。, ©2006-2020 SyuwaGakuin All Rights Reserved, 中学学習サイトは英語・数学・国語・理科・社会、中学５教科の無料練習問題を掲載しています。
む連立方程式を解くこと ができる。 ・加減法や代入法による連 立二元一次方程式の解き 方を理解している。 ノート ノート 8 〇 a＝b＝c の形をした連立方程式を解 くことができる。また，係数に文字を ふくむ連立方程式について，その文字 これを方程式を使わずに解くのを説明しなければいけません。
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); $$\LARGE{\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x-y+z=1 \\4x-2y+z=-6 \\9x+3y+z=9\end{array} \right.
文字が三つの式と二つの式 の連立方程式は解けますか？ 例えば、 3a＋7b＋c＝8 5a＋6b＝7 ということです！ a.b.c は実数だとかんがえてください 「式が2つの連立方程式はできるけど、式が3つになったら途端に難しくなる…」そんな人のために、この記事では式が3つの連立方程式の解き方を、練習問題とともにわかりやすく解説します！やり方さえ覚えれば、式が3つの連立方程式も怖くありません！ "連立方程式を使えばどんなことができるかな？ 連立方程式の式について考えます。 第4回 （放送日：11月6日、11月13日、11月20日、11月27日） \end{eqnarray}}$$, 文字が2つになったので、これは中学で学習した加減法を使えば簡単に解くことができますね！, 今回の連立方程式では②の式の両辺を\((-5)\)で割ると\(y\)の係数を揃えることができます。, $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}8=4a-2b+c \\-2=c \\-1=a-b+c\end{array} \right. \end{eqnarray}$$, そうすることで、文字を1つ消して\(a, b\)の連立方程式を作ることができます。, $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}4=a+b+c\ldots① \\2=9a+3b+c\ldots② \\-8=4a-2b+c\ldots③\end{array} \right. 問題
CD＝DBである。∠EAO＝17°のとき、∠CEDの大きさは何度か。
... －１ｘ(-1)=1 を中学生の妹になぜそうなるのか説明したいのですが、上手くできません。 答えは知ってますが、どういう経緯でその答えになるか是非知りたいです。お願い... さっきアメリカが国家非常事態宣言を出したそうです。ネットで「これはやばい｣というコメントを見たのですが、具体的に何がどうやばいんですか？. 絶対値の方程式、不等式の解き方をイチから解説！ 【連立不等式】3つの不等式の解き方を問題解説！ ←今回の記事 【連立不等式の整数解】範囲に「＝」をつける、つけないどっち？？ 【文字係数の一次不等式】場合分けのやり方をイチから解説！ 旦那は私の顔を上の中と言います。だったら上の上がいたら私は捨て... 詐欺メールが届きました。SMSで楽天市場から『購入ありがとうございます。発送状況はこちらにてご確認下さい』 と届きその後にURLが貼られていました。
方程式に x と y のように2つ文字がある場合、ひとつの方程式だけでは値を求めることができません。 しかし異なる方程式が2つあれば x と y の値を求めることができます。 私はそれを聞いて最初は嬉しかったけど、だんだん不安になってきました。 2つの式からなる連立微分方程式を、1つの2階の微分方程式に変形してから解く方法について例題や練習問題を踏まえながらわかりやすく説明しています。 \end{eqnarray}$$, $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}A=C \\B=C \end{array} \right. 3つの文字、式の連立方程式を解くためには. 変な質問でごめんなさい。2年前に結婚した夫婦です。それまで旦那は「専門学校卒だよー」って言ってました。
開いた後は発送状況を確認できるサイトに移動することは無く、ポップアッ... MSNを閲覧すると下記のメッセージが出ます。
3つの文字、式の連立方程式を解くためには. ①が個数、②が金額をあらわす式になります。この2つの式から x や y の値を求めるのが連立方程式です。. どなたかご教示お願い致します。. \end{eqnarray}$$, 式の組み合わせはどれでもよいのですが、なるべくシンプルな式が選ばれるようにしましょう。今回で言えば「9」という数字しかない式があるので、これを多く選ぶようにします。, $$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}A=B \\A=C \end{array} \right. つい先程SMSで「楽天市場でご購入ありがとうございます。発送状況はこちらにてご確認ください」とリンクを貼られたメッセージがきました。身に覚えがなかったのですが、リンクをクリックするとauじぶん銀行の「第三者の〜」(写真添付)といって閉じるを押したあとにauじぶん銀行のログイン画面になりました。 はじめまして。
連立微分方程式とは、\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]のように未知数（今回は , ）が連立方程式の式の数だけ与えられている微分方程式のことを表します。, の4パターンがありますが、今回は「高階微分方程式に変換する方法」についてやっていきたいと思います。, 個の式がある連立微分方程式は、変形を行うことにより 階の微分方程式に変形することができます。, （※連立微分方程式内に , に関係ない項がなければ同次の連立微分方程式となります。）, 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} = 2x + \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]が導出できます。, ここで、特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}\end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} \\ y = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x \right) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]が導出できます。, 上のように、 は行列の対角成分の和、 は行列式（サラスの公式）と考えると頭にいれやすいかと思います。, 未知変数が , の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = 0\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} = \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy \right) + by \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = 0 \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, （なお、この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy \right)\]に代入することで の一般解を求められます。）, なお、練習3では に関する2階微分方程式として解いているので、 から変形したい人はぜひご覧ください。, 非同次の2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]も変形を行うことで、非同次の2階微分方程式に変形をすることができます。, 連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = x + 2y + e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y + 2e^{2t} \end{array}\right.\]を高階微分方程式に変形することで解いてみましょう。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]が成り立ちますね。さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - e^{2t} = 2x + \left( \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \right) + 2 e^{2t} \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{dx}{dt} - \frac{3}{2} x = \frac{5}{2} e^{2t} \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3 x = 5 e^{2t}\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 5 e^{2t}\]が導出できます。, まずは、同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x = 0\]の一般解を求めましょう。, 特性方程式\[k^2 -2k - 3 = (k-3)(k+1) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}\]と求められます。, ここで、特殊解を\[x = a e^{2t}\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = 2a e^{2t}, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 4a e^{2t}\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - 2 \frac{dx}{dt} - 3x\\ = \ & 4a e^{2t} - 4a e^{2t} - 3a e^{2t}\\ = \ & 5a e^{2t}\end{align*}\]となるので、 となり、特殊解の1つが\[y = - \frac{5}{3} e^{2t}\]となるので、 に関する一般解が\[x = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t}\]と求まります。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t} \tag{1}\]に代入するだけで一般解を求められます。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3} e^{2t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{10}{3} e^{2t} \right) - \frac{1}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \right) - \frac{1}{2} e^{2t}\\ & = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3} e^{2t} \end{align*}\]となります。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - \frac{5}{3} e^{2t} \\ \frac{dy}{dt} = C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t} - \frac{4}{3}e^{2t} \end{array}\right.\]と表せます。, 2元の定数係数の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy + g(t) \end{array}\right.\]を2階の微分方程式に直す方法を確認しておきましょう。, 1番目の式より、\[by = \frac{dx}{dt} - ax \\y = \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \tag{1}\]が成り立つ。さらに両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) \tag{2}\]となる。, (1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + d \left( \frac{1}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{a}{b} x - \frac{1}{b} f(t) \right) + g(t) \\\frac{1}{b} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{a}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{1}{b} f'(t) = cx + \frac{d}{b} \frac{dx}{dt} - \frac{ad}{b} x - \frac{d}{b} f(t) + g(t) \\\frac{d^2 x}{dt^2} - a \frac{dx}{dt} - f'(t) = bc x + d \frac{dx}{dt} - ad x - d \ f(t) + b \ g(t) \\\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]が導出できます。, 公式とはいっても、同次2階微分方程式の公式の右辺側の 0 が に変わるだけです。, 未知変数が , の非同次2元連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = ax + by + f(t) \\ \frac{dy}{dt} = cx + dy +g(t) \end{array}\right.\]は、2階の定数係数同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - (a+d) \frac{dx}{dt} + (ad-bc) x = f'(t) - d \ f(t) + b \ g(t)\]に変形できる。, なお、2番目の式を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]と変形し、さらに両辺を で微分し、\[\frac{dx}{dt} = \frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right)\]とすることで1番目の式に代入し、\[\frac{1}{c} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - d \frac{dy}{dx} - g' (t) \right) = \frac{a}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right) + by + f(t) \\\frac{d^2 y}{dt^2} - (a+d) \frac{dy}{dt} + (ad-bc) y = g'(t) - a \ g(t) + c \ f(t) \]とすることで、 に関する2階微分方程式としてから解いてももちろんOKです。, （この場合は、求めた の一般解と を\[x = \frac{1}{c} \left( \frac{dy}{dt} - dy - g(t) \right)\]に代入することで の一般解を求められます。）, 同次の場合は、 から変形しても から変形しても公式自体は大きく変わらないのですが、非同次になると右辺部分がかなり変化するので気を付けましょう。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 8x+2y \\ \frac{dy}{dt} = -6x+y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = 5x - 2y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + y \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, つぎの非同次の連立微分方程式\[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx}{dt} = -3x+2y+2t+1 \\ \frac{dy}{dt} = -4x+3y+5t \end{array}\right.\]の一般解を求めなさい。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[ \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} = -6x + \left( \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x \right) \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{9}{2} \frac{dx}{dt} - 10x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 9 \frac{dx}{dt} + 20x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -9k +20 = (k-4)(k-5) = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} - 4 x\\ & = \frac{1}{2} \left( 4 C_1 e^{4t} + 5 C_2 e^{5t} \right) - 4 \left( C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \right)\\ & = - 2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t}\end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{4t} + C_2 e^{5t} \\ y = -2 C_1 e^{4t} - \frac{3}{2} C_2 e^{5t} \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = - \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{5}{2} \frac{dx}{dt} = 2x + \left( - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x \right) \\- \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} - \frac{9}{2} x = 0 \\\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9 x = 0\]となり、2階の微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - 6 \frac{dx}{dt} + 9x = 0\]が導出できる。, ここで、特性方程式\[k^2 -6k + 9 = (k-3)^2 = 0\]より、 の2重解となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t}\]と求められる。, あとは、(1)式\[y = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x \tag{1}\]に代入するだけでOK。, ここで、 の両辺を で微分すると\[\frac{dx}{dt} = 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t}\]となるので、\[\begin{align*}y & = - \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{5}{2} x\\ & = - \frac{1}{2} \left( 3 C_1 e^{3t} + C_2 e^{3t} + 3 C_2 te^{3t} \right) + \frac{5}{2} \left( C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \right)\\ & = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \end{align*}\]となる。, よって、, の一般解は任意定数 , を用いて\[\left\{ \begin{array}{l} x = C_1 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \\ y = C_1 e^{3t} - \frac{1}{2} C_2 e^{3t} + C_2 t e^{3t} \end{array}\right.\]と表せ、これが答えとなる。, 1番目の式より、\[y = \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2} \tag{1}\]が成立する。, さらにこの式の両辺を で微分すると、\[\frac{dy}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 \tag{2}\]となるので、(1), (2)を2番目の式に代入すると、\[\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{3}{2} \frac{dx}{dt} - 1 = -4x + 3 \left( \frac{1}{2} \frac{dx}{dt} + \frac{3}{2} x - t - \frac{1}{2} \right) + 5t \\\frac{1}{2} \frac{d^2 x}{dt^2} - \frac{1}{2} x = 2t + \frac{1}{2}\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]となり、2階の非同次微分方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 4t - 1\]が導出できる。, 一般解を出すためにまずは同次方程式\[\frac{d^2 x}{dt^2} - x = 0\]の一般解を求める。, ここで、特性方程式\[k^2 - 1 = 0\]より、, となるので、一般解は任意定数 , を用いて\[x = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}\]と求められる。, 右辺が なので、特殊解を\[x = at + b\]とおくと、\[\frac{dx}{dt} = a, \ \ \ \frac{d^2 x}{dt^2} = 0\]なので、\[\begin{align*}& \frac{d^2 x}{dt^2} - x\\ = \ & - (at + b)\\ = \ & -at - b\\ = \ & 4t - 1\end{align*}\]となるので、\[\left\{\begin{array}{l} -a = 4 \\[4px] -b = -1 \end{array}\right.