実はこれ, 本当に正しい解ではないんです. 最後に、パラメータaを横軸にとってそのときの周期的な軌道が取る値（さっきの {0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} など）を縦軸にとったグラフを描いてみる。これが有名なロジスティック写像の分岐図。Pythonを使ってちょっと書いてみよう。 簡単な数式や, 単純な物理から突拍子もないグラフが出てくるのはとても不思議でもあります.
これはデータ自体が、分離面の上下で c= 1 or 0 がはっきり別れたようなデータだったからです。, 言葉通り、白黒はっきり というやつです。
dy3/dt = p3
By following users and tags, you can catch up information on technical fields that you are interested in as a whole, By "stocking" the articles you like, you can search right away. What is going on with this article? ロジスティック方程式 aが1より大きく3以下の時に1-(1/a)あたりに収束 ちょっとだけややこしい系なので解析力学の力を借りましょう. A. 収束の度合いを$n$で勘定してあげるとグラデーションっぽいグラフにもできますが, 今回はコードのシンプルさを重視しました. を用いてX(n)はn代における個体数を表わす値で、aは繁殖率(0から4)を表わします。
""", you can read useful information later efficiently. 溢れでる上手いこといってる感, "pred"はP=0.5以上になった点をc=1と予測した時の予測値 ここは自前実装は避け、scipy.optimizeという、関数の最小化解などを探すためのパッケージに任せます。, という流れは統計モデルや機械学習の世界だと非常によく出てきます。 この振り子はカオス的に振る舞い, かつその相空間を$\frac{2\pi}{\omega}$の周期でプロットしたもの(Strange attractor)はフラクタルな性質を持ちます. （なんとなく雰囲気がわかれば大丈夫です。） ロジスティック写像. 最近はもっぱら物書きは note ⇛ https://note.mu/hik0107. をロジスティック方程式と呼びます.
pがどんな感じになっているか見てみましょう。, 分離面を堺に、c=1である確率p(右図の青さの度合い)がくっきり分かれているのがわかります。 眺めて楽しければよいのです.
それぞれのモデルは、この3つの点が1（黒）である確率を次のように予想しました。 """, """
その世界を少しだけ覗いてみましょう. ってことよくありますよね？, 『そんなこと全くないわー（#^ω^）』って思った人も素直になってください。
Mandelbrot集合はフラクタル集合です.
もちろん手では解けませんが, 漸化式自体は単純そうですね. それより大きいとよー分からん感じになります!! '''N個のデータセットを生成する関数
どうやって無数に考えられる可能性から一番いいものを探すんだ？ この質点たちの動きを数値計算で追ってみましょう. 是非覚えておいて損はないと思います。, まず適当に重みの初期値を定義します。これは完全に適当です。 ②その3つの合算を考えれば
なぜかというと、上の周期4の図を見てください。初めの方は値がばらつくために、いろいろな線が出ています。あとのほうだけをとればはっきり周期性がわかります。（これも 「ロジスティック写像リターンマップを作る」で実験しています ） ここで $w_1,w_2,w_3$は 重み と呼ばれるパラメータを指します。, この図で、赤の線は c=1とc=0(黒と白)を上手く分離してない感が凄いですよね。 このように考えてみましょう。, 3つの点があり、この点の分類値は$(c_1, c_2, c_3) =(1,1,0)$ が正解だったとします。 尤度(ゆーど)は重みベクトル $w$ をパラメータとして、次のように記述できる, ただし、$c_i= [1 , 0]$を正解として持つある観測点の尤度 $L_i$は次のように定義される。上述のように $p_i$は$w$の関数となっている。, $L_i = c_i log (p_i) +(1-c_i) log(1-p_i) $, なんだか難しそうなことを言っていますが、そんなに難しくありません。 統計に詳しくない方でも無理なく出来るよう、統計の説明➔実装 を1ステップづつ進められるようにしました。, なんでかんで、統計モデルとか機械学習も自分で実装しながら覚えると効率がよかったりします。, データサイエンティストに興味があるならまずこの辺りを見ておきな、って文献・動画のまとめ ここで、今回定義した分離面が$ 5x + 3 y = 1 $ であったことを思い出してください。 dpx3/dt = -2*G*m3*x3(m4*(r34)**-1.5 + m5*(r35)**-1.5) です. dpy3/dt = -2*G*m3*y3(m4*(r34)**-1.5 + m5*(r35)**-1.5) 実際のデータでは、こんなにキレイにcの値が別れることはないでしょう。, そこで、もう少し複雑性の高いデータでやってみます。 今まで使ってきたロジスティック写像は、だった。このグラフのクモの巣図法とフィードバックループを回したときの関数出力値の変化は下のグラフのようになっており、初期値0.2からはじめると最終的に0.5に収束していた。, 上の図を描くPythonプログラム。matplotlibのsubplotを使うと2つのグラフを表示できて便利！, これを拡張してロジスティック写像の族 を考えるとすごく面白いことが起きる。まず、a = 3.3として初期値を0.2、0.5、0.9と変えてクモの巣図法を描いてみた（上のaとinitialを変えるだけ）。, 初期値によって収束の速さは違うけど最終的に {0.4794, 0.8236} の2つの点の周期的な軌道をとることがわかる。次に、a = 3.5としてみた（初期値は0.2で固定）。, 今度は、{0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} の4つの点の周期的な軌道をとることがわかる。次は、a = 4.0としてみた。, 最後に、パラメータaを横軸にとってそのときの周期的な軌道が取る値（さっきの {0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750} など）を縦軸にとったグラフを描いてみる。これが有名なロジスティック写像の分岐図。Pythonを使ってちょっと書いてみよう。カオス 第1巻 - 力学系入門によると下のような手順で描くとのこと。, (4) で101回目からプロットするのは、軌道が収束するのを待っているのだろう。Pythonで描いてみた（Pythonの画像ライブラリPILが必要）。, 一番左端がa = 1.0、右端がa = 4.0を意味する。図1.7 (a)にあるようにa = [3.4, 4.0]の部分に拡大してみる（上のプログラムのa1とa2を変えるだけ）と, 真ん中よりちょっと右寄りのところに大きな空白地帯があることに気づく。その部分（a = [3.82, 3.86]）をさらに拡大してみると・・・, でたらめな周期を取っていた軌道が3周期の軌道に落ち着く箇所がある。この部分は「カオスの窓」と呼ばれるそうだ。何かぴったりの名前だね。あと上の2枚の画像を比べるとわかるように拡大したカオスの窓の部分にも1枚目に示した全体と同じように倍分岐していく様子が見え、小さなカオスの窓もある。これは、部分と全体が自己相似するフラクタルの例になっている。この事実を初めて発見した人はさぞかし興奮しただろうなー。うらやましい。, 分岐図については、ストレンジアトラクタ（2006/3/25）でも描いたことがある。前はJavaだったけど、今回はPythonを使ってみました。, aidiaryさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？, Powered by Hatena Blog
真の解はこちらです.
ループ回数とかは綺麗な感じに描画したくて調整した感じです。 紛れ込む量はconfuse_binが小さくなるほど大きくなるように設定してあります。 「ロジスティック写像の時系列」に引続きカオスを生む簡単な写像であるロジスティック写像 x n+1 =ax n (1-x n) (ただし、2 < a < 4) を考えます。この写像はパラメータ a の値、および初期値 x 0 によってカオスを含む様々な系列 x n を生み出すのでした。
ということで, シンプルなコードから意味不明な出力を得ることを目指します. カオスと分岐 非線形システム特論 池口徹 埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻 338–8570 さいたま市桜区下大久保255 Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716 これが初期値鋭敏性です. $log$は掛け算を足し算に変換できるなど、利点があります。, Q. 一番の特徴が「初期値鋭敏性」というもので, 初期値をほんのちょっと変えただけで全く異なる軌道を描きます. まぁ、こんな感じの簡単なコードで次のような感じのグラフが表示されます。.
Help us understand the problem. もう訳がわかりませんね. カオスと分岐 非線形システム特論2004 池口徹 埼玉大学大学院理工学研究科情報数理科学専攻 338–8570 さいたま市桜区下大久保255 Tel : 048–858–3577, Fax : 048–858–3716 まさにカオスですね. $a$を変化させたときに$x_n$が収束(もしくは複数の値を振動)する点をプロットしていくとカオス的な振る舞いを見ることができます. コードとしては次のような感じです。
上記のデータを思いだして下さい。, 現実はこんな感じに同じ領域に居るデータでもc=1だったりc=0だったりするのが普通です。 最大化問題を最小化問題に置き換えています > マイナス, Q. この関数をOptimizerに喰わせてパラメータの最尤推定を行う
これがStrange attractorです.
random. var = [x, p]
A. に代入することで質点$i$の運動方程式が得られます. 多いはずです。, ここでは、統計の知識をヌルくと説明しつつPythonで実際に動くLogistic回帰モデルを実装します。 勝手に$log$とかしたら式の意味が変わるじゃねーか。あとマイナスは何だよ
Mandelbrotよりさらにシンプルですね.
当方カオス理論が専門ではないので, 深い話には立ち入りません. ''', '''学習用のデータとパラメータの初期値を受け取って、 dx/dt = p
フラクタル次元のはなしは面倒なのでスルー. ''', '''dfのデータセット分をなめていき、対数尤度の和を定義する関数 ただ微分するだけなのですが, 符号によく注意してください.
つまり、 $g(x,y) = 5x_i + 3y_i -1$ として、 $g(x, y) >0 ⇛ c=1$ 、$g(x, y) < 0 ⇛ c=0$ となるようにします。, ここが上記で定義した $ 5x + 3 y = 1 $の線になっています。
NumPy・SciPyを用いた数値計算の高速化 : 応用その1
詳しくは『最尤推定 さいゆーすいてー 』でググって下さい, Q. これから実装するLogistic回帰モデルがこの分離線を予測することができれば成功です。, このように引数を指定すると、白点の領域に黒点を紛れ込ませることが出来ます。 環境 Windows10 + Anaconda 4.8.1 + Python 3.7.6 + gnuplot 5.2(patchlevel 8) はじめに 結果 ソースコード Gnuplotを使った他の記事 はじめに Pythonでロジスティック写像を計算し、Gnuplotを使って分岐図を描いてみた。Wikipedia… apply(0..4,drawtext([#-0.02,-0.07],#,size->16)); 17世紀に始まった人口の増加率に関する問題について、18世紀のマルサスの研究を経て、19世紀になってベルハルストが次のように定式化しました。, という形になります。このあたりの詳細は、山口昌哉著の「カオスとフラクタル」（1986年ブルーバックス、2010年ちくま学芸文庫）に書かれています。この解のグラフを描くと次のようになります。これをロジスティック曲線といいます。Scriptは簡単ですので、係数をいろいろ変えて表示してみましょう。, なお、ウィキペディアの「ロジスティック式」の項ではこれと少し違う式になっています。, このロジスティック方程式については1940年代の内田俊郎、森下正明（ともに京都大学）らの研究を経て、1973年のロバート・メイの式に至るのです。1970年代は電卓がポケットサイズとなり普及した時期です。, 微分方程式を次のようにして近似化することを差分化といい、それによって得られる式を差分方程式といいます。, まず、微分の定義を思い出してください。xがtの関数であるとき、微小な変化量Δt、Δxを用いると, さて、伊藤氏のページにある、ロジスティック写像のリターンマップ、分岐図について考えていきましょう。「カオスを概観する」でロジスティック写像として示した２つの図です。, 0.1 0.09 0.0819 0.0752 ・・・ となっていき、ある値に収束します。, -------------------------------------------------------------------------, aと最初のxの値をいろいろ変えてみると、数の変化がわかります。repeat の回数を増やせばわかりやすいかもしれません。, 0.7995 0.513 ・・・ となり、２つの値を繰り返します。この状態を「周期が２である」といいます。, さらに、a=3.5 x=0.2 のときは、はじめのうちはばらばらに見えますが、repeatの回数を50くらいすると、４つの値が繰り返されるようになります。「周期が４」となるのです。（実際に試してください）, さて、数値の並びだけではわかりにくいので、これを図で表すことにします。それがリターンマップです。, ポイントは、あるxの値から次の値を図形的にどう取るかということなのですが、ここで直線 y=x がうまい役割をします。, ここから横に線を引いて、直線 y=x との交点を求めると、そのx座標が f(x1) となります。これが x2です。, すなわち、x軸上のx1から出発して、放物線->直線->x軸 と戻ってくれば次の値をx軸上に求めることができるわけです。, さて、次の図は先ほど示した、周期が２，４になるときの図です。周期性の意味が図から読み取れるでしょうか。, （この図では、上図に加えて、x1,x2,x3・・・の点列を緑の点でx軸上に示しています。）, ところが、a=3.57・・・ を超えると、初期値によって値の動きはまったく異なるものとなるのです。（これもやってみましょう）これを「初期値鋭敏性」と言います。そして、a=4に十分近いとき、カオスになるのです。このことは、次の「ロジスティック写像の分岐図」で見てみることにしましょう。, aの値によって、xの値は収束したり、周期的になったりします。この様子を次のように図（グラフ）にします。, 今度のグラフは、横軸にaの値、縦軸にxの値を取ります。そして、各aの値に対する点列 x1,x2,x3,・・・・ をプロットしていくわけですが初めの方は省略します。なぜかというと、上の周期４の図を見てください。初めの方は値がばらつくために、いろいろな線が出ています。あとのほうだけをとればはっきり周期性がわかります。（これも, このようにして作ったのが次の図です。この図では、はじめの100個をパスしてあとの100個を表示しています。aの値は０から４まで、4000等分しています。.
『統計にそんなに詳しくないけど、機械学習とかのモデルを自分で実装してみたい！』 figure (figsize = (16, 4)) plt. http://gihyo.jp/dev/serial/01/machine-learning/0018, 今回は簡単のために要素2つと、2値の分類だけを持つデータを作ります。 これくらい粗い絵でも自己相似の意味は理解していただけると思います. 再掲ですが、あるモデル（= ある重み $w_1,w_2,w_3$）の尤度は下記のように定式化されるので、それをコード化しているだけです。, $ E(w) = ∑- log(L_i) $ これは生物の個体数に関するモデルにも用いられているそうです.